我真希望当年有人教过我的十堂课（Gian-Carlo Rota）

先容我打消你们的一个顾虑。我不会在接下来的半个小时里，一直感谢你们参加这次会议，也不会感谢你们放下手头的工作，专程来到剑桥。

再打消你们可能有的另一个顾虑：我也不会让大家再听一遍我对往事的追忆。过去这些年，我已经一本正经地发表过不少这样的回忆，偶尔还会对现实稍作润色。

这两个选项都排除以后，我反倒不知道该给这次演讲起什么题目了。幸好，我想起了 20 世纪 50 年代末麻省理工学院的一次学术报告，那也是我到 MIT 后最早参加的几次报

告之一。主讲人是欧金尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi）。听众第一排坐着诺伯特·维纳（Norbert Wiener）——他照例一直睡到该鼓掌时才醒——以及迪尔克·斯特鲁伊克（Dirk Struik）。卡拉比 40 年代在 MIT 读本科时，斯特鲁伊克曾是他的老师之一。

那场报告的内容完全超出了我的能力范围。开讲五分钟以后，我就彻底听不懂了。报告结束时，主讲人与几位听众之间发生了一段高深莫测的对话——如果我没记错，是安布罗斯（Ambrose）和辛格（Singer）。随后，全场陷入一阵紧张的沉默。

斯特鲁伊克教授打破了僵局。他举起手说：“给我们点能带回家的东西吧！”卡拉比照办了。接下来的五分钟里，他用漂亮而朴素的语言，把整场报告的要旨讲得清清楚楚。所有人离场时都心满意足。

斯特鲁伊克是对的：演讲者应该努力给听众留下一点能“带回家”的东西。

可究竟该带走什么呢？这些年来，我陆陆续续收集了一些零碎的忠告，都是我不断拿来提醒自己的“该做”和“不该做”——而这些错误，我过去犯过，将来也免不了继续犯。你们当中有些人，大概已经听我念叨过其中一两条。把它们集中起来，放进一次演讲里，虽然同样有些自以为是，但大概已经算是几种选择里不那么令人讨厌的一种了。

我们给别人的忠告，往往正是我们自己最需要听的忠告。对我来说，现在才来学这些道理已经太晚了，所以我只好通过把它们讲给你们听，来完成自己一直没有完成的功课。下面这些忠告，我会按照“争议越来越大”的顺序来说。

做讲座

根据我过去四十六年里听数学报告的经验，下面四条对一场好讲座的要求，似乎并没有想象中那么显而易见。

1. 每场讲座只讲清一个核心观点

德国哲学家 G. W. F. 黑格尔说过，一个哲学家如果太频繁地使用“并且”这个词，那他就不可能是个好哲学家。至少在做讲座这件事上，我觉得他说得对。

每场讲座都应该有一个核心观点，然后像一个不断变奏的主题一样，把它反复讲清楚。听众就像一群牛，会慢慢朝你赶它们去的方向移动。如果我们只讲一个重点，那么听众还有很大机会朝正确的方向走；如果我们同时讲好几个重点，这群牛就会四散到整片田野里。听众会失去兴趣，然后每个人都会重新回到那些为了来听你讲座而暂时放下的念头上。

2. 永远不要超时

超时是演讲者唯一不可原谅的错误。

五十分钟以后——冯·诺依曼过去把这叫作“一个微世纪”——所有人的注意力都会转移到别处，哪怕我们正在试图证明黎曼猜想也一样。仅仅超时一分钟，就足以毁掉一场原本非常精彩的讲座。

3. 和你的听众建立联系

走进报告厅时，试着从听众里找出一个你多少熟悉其工作的人。然后迅速调整你的讲稿，想办法提到这个人的某项工作。

这样一来，你至少可以保证有一个人会全神贯注地听完整场报告，而且顺带还能交到一个朋友。

每个来听你讲座的人，心里其实都偷偷怀着同一个愿望：希望你会提到他的工作。

4. 给他们一点能带回家的东西

斯特鲁伊克教授的忠告其实并不容易做到。要说一场讲座的哪些东西会永远留在听众记忆里，倒容易得多——可答案并不怎么体面。

我经常会在机场、街上，偶尔也在一些颇为尴尬的场合，遇见曾经选过我一门或几门课的 MIT 校友。大多数时候，他们都会坦白承认，早已忘了那门课到底讲什么，也忘了我自以为教会了他们的全部数学。

可他们会兴高采烈地想起我讲过的某个笑话、某段轶事、某个怪癖、某句题外话，或者我当年犯过的某个错误。

黑板上的技巧

这里有两点。

1. 确保黑板干干净净

尤其重要的是，要把那些因为板擦擦得不均匀而留下的、令人分心的旋涡状痕迹彻底擦掉。

从一块一尘不染的黑板开始，会在不知不觉中给听众留下一个印象：他们接下来要听到的讲座，也会同样干净利落。

2. 从左上角开始写

我们写在黑板上的内容，应该正好对应一个认真听讲的人希望抄进笔记本里的东西。

最好写得慢一点，字写大一点，不要使用缩写。那些认真做笔记的听众，其实是在帮我们的忙；我们理应让他们抄得轻松一些。

如果不用黑板而改用幻灯片，演讲者就应该花一点时间解释每一页。最好还可以补上几句不重要的、重复的、甚至多余的话，好让听众有足够时间把幻灯片上的内容记下来。

我们总会陷入一种幻觉，以为讲座结束以后，听众会找时间认真阅读我们发给他们的幻灯片副本。这只是美好的愿望。

同一个结果，不妨发表好几次

拿到学位以后，我有几年时间研究泛函分析。弗雷德里克·里斯（Frederick Riesz）的《论文集》刚出版时，我立刻买了一本。那是一本又大、又厚、又重，而且开本异常巨大的书。

可我一页页翻下去，很快注意到一件事：书页厚得出奇，几乎像硬纸板；更奇怪的是，里斯的每一篇文章都被重新排成了异常巨大的字号。我一向很喜欢里斯的论文，它们总是写得极其漂亮，读起来给人一种“一锤定音”的感觉。

但当我继续翻这套《论文集》时，另一幅图景渐渐浮现出来。编辑们显然竭尽全力，把里斯生前发表过的每一张小纸片都搜罗进来了。结果很清楚：里斯真正发表的东西其实并不多。

更令人惊讶的是，同一篇工作的内容往往会被发表好几次。里斯会先在某本不起眼的匈牙利期刊上发表一个想法的粗糙初稿。几年以后，他会向法国科学院的 Comptes Rendus 提交一系列短札，对同样的材料进一步展开。再过几年，他才会用法语或英语发表最终的定稿。

曾跟里斯上过课的亚当·科拉尼（Adam Koranyi）告诉我，里斯会一年又一年地讲授同一个主题，一边讲，一边琢磨自己最终要写下来的版本。难怪最后的成稿会那么完美。

里斯的做法值得效仿。数学共同体实际上被分成许多小群体，每个群体都有自己的习惯、记号和术语。也许很快，把同一个结果写成若干不同版本、分别让不同群体都能读懂，会变成一件不可或缺的事。

否则，我们付出的代价可能是：某个人用另一套语言和记号重新发现了我们的工作，然后理直气壮地把结果认作自己的。

真正让人记住你的，往往是你的阐释性工作

我们来看两个例子，先从希尔伯特说起。

一提到希尔伯特，我们当然会想到他的几个伟大定理，比如希尔伯特基定理。但是，人们更经常因为他在数论方面的工作、《数论报告》（Zahlbericht）、《几何基础》，以及那本积分方程教材而记住他的名字。

“希尔伯特空间”这个名称，是斯通（Stone）和冯·诺依曼为了致敬希尔伯特的积分方程教材而提出的。至少在量子力学诞生二十年前，这本教材里就已经首次定义了“谱”这个词。

希尔伯特的积分方程教材，在很大程度上其实是一部阐释性的著作，建立在赫林格（Hellinger）和其他几位数学家的工作之上，而那些人的名字如今大多已经被遗忘了。

类似地，让“希尔伯特”这个名字在数学家中家喻户晓的《几何基础》，其中原创性的工作并不多。它更多是收获了许多几何学家的成果，包括 Kohn、Schur（不是你们熟悉的那个 Schur）、Wiener（也不是那个你们熟悉的 Wiener）、Pasch、Pieri，以及其他几位意大利数学家。

再比如希尔伯特的 Zahlbericht。这部彻底改变数论领域、具有奠基意义的著作，最初其实只是一篇综述，是希尔伯特受委托为《德国数学会通报》撰写的。

威廉·费勒（William Feller）是另一个例子。今天人们记得费勒，主要因为他写了有史以来最成功的概率论著作。如今很少有概率论学者能说出费勒两篇以上的研究论文；大多数数学家甚至不知道，费勒早年还曾研究过凸几何。

容我插入一段自己的经历。我偶尔会在哲学的一个分支——现象学——发表论文。第一次在这个领域发表文章以后，我参加“现象学与存在主义哲学学会”的一次会议，会上有人毫不客气、斩钉截铁地告诉我：我那篇论文里写的所有东西，大家早就知道了。这种情形不止发生过一次，最后我不得不重新考虑自己在现象学领域的发表标准。

碰巧的是，现象学最基础的那些经典著作，往往都用厚重、艰涩、哲学味十足的德语写成。这个传统还要求：无论你在谈什么，都绝不能举例子。

有一天，我虽然心里非常忐忑，还是决定发表一篇文章。那篇文章本质上只是把埃德蒙·胡塞尔（Edmund Husserl）一本书里的几个段落更新了一下，再加上几个例子而已。

下一次参加“现象学与存在主义哲学学会”会议时，我已经做好了迎接最坏结果的准备。没想到，一位颇有名望的现象学家面带笑容地朝我冲了过来。他对我的论文赞不绝口，还强烈鼓励我继续发展其中那些“新颖而原创的思想”。

每个数学家真正拿手的招数都不多

很久以前，一位年长而知名的数论学家曾对保罗·厄德什（Paul Erdös）的工作说过一些颇为贬低的话。

你们和我一样，都非常钦佩厄德什对数学的贡献，所以当那位老数学家用一种不容置疑的口气断言，厄德什的全部工作都可以“归结”为几个他在证明里反复使用的小技巧时，我很恼火。

可这位数论学家没有意识到的是：其他数学家，包括最顶尖的数学家，也都只是依靠少数几个招数，然后一遍又一遍地使用它们。

看看希尔伯特吧。希尔伯特《论文集》第二卷收录了他关于不变量理论的论文。我特意认真读过其中一些。令人遗憾的是，希尔伯特的一些优美成果如今已经被彻底遗忘了。

但当我阅读他在不变量理论中那些惊人而深刻的定理证明时，却惊讶地发现：希尔伯特的证明，同样反复依赖那少数几个招数。

连希尔伯特，也只有那么几招！

别太担心自己犯的错误

还是先从希尔伯特讲起。

德国人准备出版希尔伯特的《论文集》，打算在他晚年的某个生日把整套书送给他时，突然发现他们不能直接把论文按原样重印，因为那些文章里充满了错误，其中一些还相当严重。

于是，他们雇了一位当时失业的年轻数学家奥尔加·陶斯基-托德（Olga Taussky-Todd），让她逐篇检查希尔伯特的论文，把所有错误纠正过来。

奥尔加为此干了整整三年。最后发现，几乎所有错误都能修正，而且不需要对定理的陈述作任何重大改动。

只有一个例外：希尔伯特晚年写过一篇论文，怎么也救不回来。那是一篇声称证明了连续统假设的文章，你们可以在 20 世纪 30 年代初的 Mathematische Annalen 中找到它。

终于到了希尔伯特生日那天，一套刚刚印好的《希尔伯特论文集》被送到了这位“枢密顾问”（Geheimrat）面前。希尔伯特仔细翻了翻，却什么异样也没发现。

现在让我们把视线移到另一个极端。容我再讲一个自己的故事。

1979 年夏天，我在匹兹堡参加一次哲学会议时，突然发生视网膜脱离。幸亏乔尼（Joni）及时出手帮忙，我才赶在最后关头接受手术，保住了视力。

手术后的第二天早晨，我双眼缠着绷带躺在病床上，乔尼来看我。既然我至少还得在匹兹堡的医院里住一个星期，我们俩便决定干脆写篇论文。

乔尼从我的行李箱里翻出一份手稿。我告诉她，里面有几个错误，她可以帮我一起改掉。

接下来是二十分钟的沉默，她一页页读着草稿。

“天哪，这全都是错的！”她最后用年轻而清亮的声音说道。

她是对的。手稿里的每一句话都有问题。可尽管如此，她忙了一阵以后，居然把所有错误都改好了，最后这篇论文也顺利发表了。

错误有两种。一种是致命错误，它会摧毁整个理论；另一种只是偶然性的错误，而这种错误反倒很有用，因为它能帮助我们检验一个理论到底有多稳定。

使用费曼方法

理查德·费曼（Richard Feynman）很喜欢用下面这套办法解释“怎样成为一个天才”。

你应该始终在脑子里保留大约十二个自己最喜欢的问题。大多数时候，它们都处在休眠状态。

每当你听到或读到一个新的技巧、一个新的结果，就把它拿去和这十二个问题逐一碰一碰，看看它能不能帮上忙。

偶尔，总会有一次真的撞上。于是别人就会说：“他到底是怎么想到的？这人一定是个天才！”

致谢要大方

我读论文时，如果觉得作者没有给我应有的认可，总会有些恼火。可以有把握地猜测，其他人多半也一样。

有一天，我决定做个实验。写完一篇相当长的论文以后，我开始认真整理一份详尽的参考文献。忽然心血来潮，我故意引用了几篇和我的论文内容完全没有关系的文章，想看看会发生什么。

有点出乎意料的是，我收到了其中两位作者的来信，而我原本认定他们的论文和我的文章毫不相干。

两封信的情绪都非常强烈。两位作者都热情地祝贺我，因为我是第一个承认他们“对这个领域作出贡献”的人。

把引言写得有信息量

如今，从头到尾完整读完一篇数学论文，已经是一件很少见的事了。

如果我们真希望别人读自己的论文，那就最好给潜在读者一个足够强的理由，让他们愿意读下去。一篇篇幅较长的引言，可以回顾这个主题的历史，把该给的功劳都给到位，再用比较从容、叙述性的方式，诱人地勾勒一下论文的内容。这样做，至少多少能替我们争取到那么一两个读者。

我担任 Advances in Mathematics 编辑时，经常把投稿退回给作者，建议他们把引言写得再长一点。

有时候，我很快就会收到作者的回信，说同一篇论文此前刚刚被 Annals of Mathematics 拒掉，理由恰恰是：引言已经太长了。

为老去做好准备

我已故的朋友斯坦·乌拉姆（Stan Ulam）过去常说，他的一生被非常鲜明地分成了两半。

前半生，他永远是人群里最年轻的那个；后半生，他永远是最年长的那个。中间根本没有过渡期。

现在我终于明白，他说得有多对。

关于老年的礼仪，似乎从来没有人把它写下来，所以我们只能用最笨、也最痛的方式自己学会。要适应老年，首先得接受一个最基本的事实，而接受它需要时间。

你必须明白，到了某个年纪以后，别人就不再把你看成一个普通的“人”了。你会变成一个“机构”，别人也会像对待一所机构那样对待你。

人们期待你的举止像一件有年代的古董家具、一处建筑地标，或者一本早期印本的古籍。

这时候，你还发不发表论文，其实已经没那么重要了。

如果你的论文写得不好，人们会说：“还能指望什么？他早就是个固定摆设了！”

如果你偶尔又写出一篇颇有意思的论文，人们则会说：“还能指望什么？他一辈子都在研究这个！”

唯一明智的回应，就是好好享受这个新角色——享受自己已经成为一个“机构”这件事。